【作业】衍射光场分布仿真


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字数：2.6k字 | 预计阅读时长：12分钟

现代光学作业：利用空间频率分析方法，基于MATLAB平台仿真夫琅禾费衍射与菲涅耳衍射中的各个类型的衍射光场分布。

作业要求：

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1. 夫琅禾费衍射

1.1 矩形孔

衍射场强度分布公式：

I(x,y)=∣U(x,y)∣2=(abλz)2sinc2(axλz,byλz)I(x,y) = \left | U(x,y) \right | ^ 2 = (\frac{ab}{\lambda z}) ^ 2 sinc ^ 2(\frac{ax}{\lambda z},\frac{by}{\lambda z})

仿真程序：

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clc; clear;
lambda = 500e-9; % 光波长
a = 80e-6;       % 矩孔宽
b = 60e-6;       % 矩孔长
z = 10;          % 观察面离衍射屏的距离
L = 1;           % 观察范围边长
N = 1000;        % 采样点数
x = linspace(-L/2, L/2, N);     % x轴
y = (linspace(-L/2, L/2, N))';  % y轴
% 衍射强度分布公式
I = (a*b/(lambda*z))^2*(sinc(a*x/(lambda*z))).^2.*(sinc(b*y/(lambda*z))).^2;
figure; imagesc(x,y,sqrt(I));   % 绘制振幅分布图
colormap("hot"); title('矩形孔的夫琅和费行射');

得到衍射场分布图样为：

1

则夫琅禾费衍射光强分布与波长的平方成反比，与衍射孔到观察面的距离的平方成反比，与衍射孔面积的平方成正比，并在x=y=0x=y=0处取最大值。

1.2 单缝

当a→∞a \to \infty或者b→∞b \to \infty时，就得到了单缝夫琅禾费衍射光强分布。

仿真程序：

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clc; clear;
lambda = 500e-9;    % 光波长
a = 100e-6;         % 矩孔宽（趋于0）
b = 1;              % 矩孔长（趋于∞）
z = 10;             % 观察面离衍射屏的距离
L_x = 0.9;          % 观察范围宽
L_y = 0.3;          % 观察范围高
N = 1000;           % 采样点数
x = linspace(-L_x/2, L_x/2, N);     % x轴
y = (linspace(-L_y/2, L_y/2, N))';  % y轴
% 衍射强度分布公式
I = (a*b/(lambda*z))^2*(sinc(a*x/(lambda*z))).^2.*(sinc(b*y/(lambda*z))).^2;
figure; imagesc(x,y,sqrt(I)); % 绘制振幅分布图
colormap("hot"); title('单缝的夫琅和费行射');

得到衍射场分布图样为：

2

1.3 圆孔

衍射场强度分布公式：

I(r)=(πR2λz)2[2J1(2πRrλz)2πRrλz]2I(r) = (\frac{\pi R^2}{\lambda z}) ^ 2 \left [\frac{2 J_1 (\frac{2 \pi R r}{\lambda z})}{\frac{2 \pi R r}{\lambda z}}\right ] ^ 2

仿真程序：

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clc; clear;
lambda = 500e-9;              % 光波长
R = 5 * lambda;               % 衍射孔半径
D = 2 * R;                    % 衍射孔直径
z = 10;                       % 观察面离衍射屏的距离
r_Airy = 1.22 * lambda * z/D; % 爱里斑半径
L = 5 * 2 * r_Airy;           % 观察范围边长
N = 1000;                     % 采样点数
x = linspace(-L/2, L/2, N);   % x轴
y = (linspace(-L/2, L/2, N))';% y轴
r = sqrt(x.^2+y.^2);          % 点的极径
term = 2 * pi * R * r/(lambda * z); % 临时项
% 衍射强度分布公式
I = (pi * R^2 / (lambda*z)).^2 * (2*besselj(1,term)./term).^2;
figure; imagesc(x,y,sqrt(I)); % 绘制振幅分布图
colormap("hot"); title('圆孔的夫琅和费行射');

得到衍射场分布图样为：

3

圆孔衍射的光强分布一般称为爱里图样，中间亮斑称为爱里斑。

1.4 正弦振幅光栅

衍射场强度分布公式：

I(x,y)=∣U(x,y)∣2=(l22λz)2sinc2(lyλz)⋅{sinc2(lxλz)+m24sinc2[lλz(x+ξ0λz)]+m24sinc2[lλz(x−ξ0λz)]}I(x,y) = \left | U(x,y) \right | ^ 2 = (\frac{l^2}{2 \lambda z}) ^ 2 sinc ^ 2(\frac{ly}{\lambda z}) \cdot \left \{ sinc ^ 2(\frac{lx}{\lambda z}) + \frac{m^2}{4} sinc ^ 2 \left [\frac{l}{\lambda z} (x + \xi_0\lambda z) \right ] + \frac{m^2}{4} sinc ^ 2 \left [\frac{l}{\lambda z} (x - \xi_0\lambda z) \right ] \right \}

仿真程序：

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clc; clear;
lambda = 500e-9;    % 光波长
m = 1;              % 0<m≤1
l = 10 * lambda;    % 正方形正弦振幅光栅的边长
xi_0 = 1e6;         % 光栅空间频率E_0
z = 10;             % 观察面离行射屏的距离
L = 20;             % 观察范围宽
N = 1000;           % 采样点数
x = linspace(-L/2, L/2, N); % x轴
y = 0;                      % y轴
term1 = (l^2/(2*lambda*z))^2;
term2x = (sinc(l*x/(lambda*z))).^2;
term2y = (sinc(l*y/(lambda*z))).^2;
term3p = (m^2/4) * (sinc(l*(x+xi_0*lambda*z) / (lambda*z))).^2;
term3n = (m^2/4) * (sinc(l*(x-xi_0*lambda*z) / (lambda*z))).^2;
I = term1 * term2y .* (term2x+term3p+term3n);
figure; plot(x, I/max(I)); % 绘制光强分布图
title('正弦振帽光栅行射光强分布曲线');

得到衍射场分布曲线为：

4

由图可见，正弦型振幅光栅夫琅禾费衍射只有00和±1\pm 1级频谱分量。

1.5 正弦相位光栅

衍射场强度分布公式：

I(x,0)=(l2λz)2∑n=−∞∞Jn2(m2)sinc2[lλz(x−nξ0λz)]I(x,0) = (\frac{l^2}{\lambda z}) ^ 2 \sum_{n = -\infty}^{\infty} J_n^2 (\frac{m}{2}) sinc ^ 2 \left [\frac{l}{\lambda z} (x - n \xi_0\lambda z)\right ]

仿真程序：

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clc; clear;
lambda = 1;         % 光波长
m = 8;              % m为任意实数
l = 80 * lambda;    % 正方形正弦相位光栅的边长
xi_0 = 0.05;        % 光栅空间频率E_0
z = 300;            % 观察面离衍射屏的距离
L = 180;            % 观察范围宽
N = 2000;           % 采样点数
x = linspace(-L/2, L/2, N); % x轴
term1 = (1 / (lambda * z)).^2;
term2 = 0;
for n = -10000:10000
    term2 = term2 + (besselj(n, m/2).^2)* (sinc((l/(lambda*z))*(x-n*xi_0*lambda*z)).^2);
end
I = term1 * term2;
figure; plot(x, I); % 绘制光强分布图
title('相位光栅行射强度分布曲线');

得到衍射场分布曲线为：

5

2. 菲涅耳衍射

2.1 圆孔轴线

衍射场强度分布公式：

I(0,φ)=4sin⁡2(πR22z)I(0,\varphi ) = 4 \sin ^ 2 (\frac{\pi R^2}{2z})

仿真程序：

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clc; clear;
lambda = 500e-9;            % 光波长
R = 1e-3;                   % 圆孔半径
z = linspace(0, 5, 2000);   % 观察面离衍射屏的距离
% 衍射强度分布公式
I = 4 * (sin(pi*R^2./(2*lambda*z))).^2;
figure; plot(lambda*z/R^2, I/4); % 绘制光强分布曲线
title('圆孔轴上菲涅耳行射光强分布曲线');

得到衍射场分布曲线为：

6

2.2 正方形

衍射场强度分布公式：

I(x,y)=14{[C(v2)−C(v1)]2+[S(v2)−S(v1)]2}×{[C(w2)−C(w1)]2+[S(w2)−S(w1)]2}I(x,y) = \frac{1}{4} \left \{ \left [ C(v_2) - C(v_1) \right ]^2 + \left [ S(v_2) - S(v_1) \right ]^2 \right \} \times \left \{ \left [ C(w_2) - C(w_1) \right ]^2 + \left [ S(w_2) - S(w_1) \right ]^2 \right \}

对于方形孔，菲涅耳衍射的复振幅和光强沿xx和yy的分布相同。

仿真程序：

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clc; clear;
lambda = 500e-9;    % 光波长
k = 2 * pi/lambda;  % 空间圆频率（波数）
z = 3;              % 观察面离衍射屏的距离
a = 5e-3;           % 方孔边长
L = 8 * a;          % 观察范围边长
N = 5000;           % 采样点数
m = linspace(-L/2, L/2, N);
n = (linspace(-L/2, L/2, N))';
U_Sigma = rectpuls(m/(2*a)).*rectpuls(n/(2*a));
x = linspace(-L/2, L/2, N);     % x轴
y = (linspace(-L/2, L/2, N))';  % y轴
%传递函数
h = exp(1i*k*z) / (1i*lambda*z) * exp(1i*k*(x.^2+y.^2)/(2*z));
H = fftshift(fft2(h));              % 传递函数频谱
A_Sigma = fftshift(fft2(U_Sigma));  % 衍射面处输入频谱
A = H.*A_Sigma;                     % 观察面处输出频谱
U = fftshift(ifft2(A));             % 观察面处输出（振幅）
figure; imagesc(abs(U));            % 绘制衍射振幅分布图
colormap("hot");
title('矩形孔菲涅耳衍射振幅分布');
figure; plot(abs(U/max(U)));
title('矩形孔菲涅耳衍射振幅曲线');

得到衍射场振幅分布图样为：

7

衍射场振幅分布曲线为：

8

2.3 单缝

单缝菲涅耳衍射可作为方孔衍射的一个特例来处理，只需将方孔的一个对边向yy（或xx）方向无限延伸，便成为单缝。此时有w1=−∞w_1 = -\infty，w2=∞w_2 = \infty。

衍射场复振幅分布公式：

U(x,y)=(1−i)eikz2{[C(v2)−C(v1)]+i[S(v2)−S(v1)]}U(x,y) = \frac{(1-i)e^{ikz}}{2} \left \{ \left [ C(v_2) - C(v_1) \right ] + i \left [ S(v_2) - S(v_1) \right ] \right \}

衍射场光强分布公式：

I(x,y)=12{[C(v2)−C(v1)]2+[S(v2)−S(v1)]2}I(x,y) = \frac{1}{2} \left \{ \left [ C(v_2) - C(v_1) \right ]^2 + \left [ S(v_2) - S(v_1) \right ]^2 \right \}

仿真程序：

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clc; clear;
lambda = 500e-9;    % 光波长
k = 2 * pi/lambda;  % 空间圆频率（波数）
z = 3;              % 观察面离衍射屏的距离
a = 1e-3;           % 缝宽
b = 1e3;            % 缝长
L = 20 * a;         % 观察范围边长
N = 5000;           % 采样点数
m = linspace(-L/2, L/2, N);
n = (linspace(-L/2, L/2, N))';
U_Sigma = rectpuls(m/(2*a)).*rectpuls(n/(2*b));
x = linspace(-L/2, L/2, N);
y = (linspace(-L/2, L/2, N))';
%传递函数
h = exp(1i*k*z) / (1i*lambda*z) * exp(1i*k*(x.^2+y.^2)/(2*z));
H = fftshift(fft2(h));             % 传递函数频谱
A_Sigma = fftshift(fft2(U_Sigma)); % 衍射面处输入频谱
A = H.*A_Sigma;                    % 观察面处输出频谱
U = fftshift(ifft2(A));            % 观察面处输出（振幅）
figure; imagesc(abs(U));           % 绘制衍射振幅分布图
colormap("hot");
title('单缝菲涅耳衍射振幅分布');
figure; plot(abs(U(1,:)/max(U(1,:))));
title('单缝菲涅耳行射振幅曲线');

得到衍射场振幅分布图样为：

9

衍射场振幅分布曲线为：

10

2.4 直边

求直边的菲涅耳衍射光场分布可以只考虑狭缝的一个边，而将其另一个边看作在无限远处。此时，可以取v1=−∞v_1 = -\infty以及C(−∞)=S(−∞)=−12C(-\infty) = S(-\infty) = -\frac{1}{2}。

衍射场复振幅分布公式：

U(x,y)=(1−i)eikz2{[C(v2)+12]+i[S(v2)+12]}U(x,y) = \frac{(1-i)e^{ikz}}{2} \left \{ \left [ C(v_2) + \frac{1}{2} \right ] + i \left [ S(v_2) + \frac{1}{2} \right ] \right \}

衍射场光强分布公式：

I(x,y)=12{[C(v2)+12]2+[S(v2)+12]2}I(x,y) = \frac{1}{2} \left \{ \left [ C(v_2) + \frac{1}{2} \right ]^2 + \left [ S(v_2) + \frac{1}{2} \right ]^2 \right \}

采用数值积分方法计算函数

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clc; clear;
lambda = 500e-9; % 光波长
L = 0.05;

x = -0.001: 0.000003: 0.001;
w = sqrt(2 / lambda/L).*x;
I_0 = 1;
C = linspace(0, 0, length(x));
S = linspace(0, 0, length(x));
for n=1:length(x)
    C(n) = integral(@cos_fun,0,w(n));
    S(n) = integral(@sin_fun,0,w(n));
    I = I_0/2.*((C + 0.5).^2+(S + 0.5).^2);
    F = C + 1i.*S;
end
figure;     % 绘制衍射振幅分布图
imagesc(x, max(x), I);
colormap("hot");
title('直边菲涅耳衍射振幅分布');

% 余弦函数
function Z_Fresnel_integral = cos_fun(t)
    Z_Fresnel_integral = cos(0.5*pi*t.^2);
end

% 正弦函数
function Z_Fresnel_integral = sin_fun(t)
    Z_Fresnel_integral = sin(0.5*pi*t.^2);
end

得到衍射场振幅分布图样为：

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本文来源： 青江的个人站
本文链接： https://hanqingjiang.com/2024/11/02/241102_matlabDiffractionDistributionSimulation/
版权声明： 本作品采用 CC BY-NC-SA 4.0 进行许可。转载请注明出处！
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